Análisis Cuantitativo, 2012-1

2.           Probabilidad

 

2.1.         Nociones elementales

 

2.1.1.  La escala lineal de la probabilidad. La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los resultados posibles de acontecimientos dados junto con las posibilidades relativas y las distribuciones de los resultados. En uso común, la palabra "probabilidad" se utiliza para significar la suerte de que un acontecimiento particular (o el conjunto de acontecimientos) ocurra, expresada en una escala lineal desde 0 (imposibilidad) a 1 (certeza), también expresado como porcentaje entre 0 y 100%.  “Suerte” es sinónimo de “al azar”. Azar y necesidad son términos opuestos. Lo necesario es lo que tiene que suceder. Lo que sucede “por suerte” o “al azar” puede suceder o no. Las probabilidades se expresa como fracciones (1/2, 1/3, 5/9) o como decimales (0.157, 0.500, 0.760) entre cero y uno. Una probabilidad de cero, P(X) = 0, significa que algo nunca sucederá; una probabilidad de uno, P(X) = 1, significa que algo siempre sucederá, que ya sucedió o que está sucediendo. El análisis de los acontecimientos gobernados por la probabilidad se llama estadística.

2.1.2.  En estadística, no decimos vagamente que un suceso es “probable” sino precisamente cuánta es su probabilidad.

2.1.3.  Experimentos, resultados y acontecimientos. Un experimento es el proceso por el cual una observación (o una medida) es obtenida. Un acontecimiento es el resultado de un experimento. Un acontecimiento simple es un acontecimiento que no puede ser descompuesto.  Por ejemplo, arrojar un solo dado es un experimento. El resultado con un número par es un acontecimiento.  El resultado 4 es un acontecimiento simple, porque no puede ser descompuesto.

 

2.2.         Fórmulas

 

2.2.1.  Probabilidad de un evento.

 

 

donde:

P(E) = probabilidad del evento E. Por ejemplo, que al arrojar un dado salga 3.

ni = el número de veces que aparece el resultado E, también llamado frecuencia  f. Por ejemplo, 1.

n = número total de resultados en el espacio muestral. En el ejemplo citado: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6).

 =  frecuencia relativa de E

 

 

2.2.2.  Proporción y frecuencia relativa

 

 

 

donde:

n =  máximo o último de i.

 

2.2.3.  Probabilidad como límite

 

 

donde:

e1 = el resultado. Por ejemplo, un as.

n = número total de veces que se repite el intento.

n1 = el número de veces que aparece el resultado e1, también llamado n(e1) o frecuencia f.

n1/n = la frecuencia relativa de e1.

lím = el límite de n1/n a medida que n se aproxima al infinito.

 

Como referencia, así se obtiene el límite de 1/6 en Maple:

 

 

 

 

donde  x = n.

 

2.3.         Espacio muestral

2.3.1.  Un conjunto S que consiste en todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral, y cada uno de los resultados se denomina punto muestral. Por ejemplo, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2.4.         Probabilidad condicional

2.4.1.  Fórmula:

 

Esta fórmula se lee así: la probabilidad de A dado B es igual a la proporción del total de A y B sobre el total de B. La barra vertical en la expresión “A | B” se lee “dado que” o “dado”.

2.4.2.  Ejemplos: Véase AC20121Probabilidad.xls.

 

- A y B son dos sucesos tales que P(B)>0.

- En cuadros, A y B son frecuencias marginales.

- P(A|B) = probabilidad condicional de A  dada B.

- P(A∩B) =  probabilidad de que A y B ocurran. “y” es copulativo.

- En cuadros, A|B  y A∩B son las frecuencias de las células.

- P(A) = probabilidad de A.

- P(B) = probabilidad de B.

 

2.5.         Independencia.

 

2.5.1.  Si P(A|B) = P(A), es decir la probabilidad de que A ocurra no está afectada por la ocurrencia o no ocurrencia de B, decimos que A y B son sucesos independientes. Esto es equivalente a:

P(A∩B) = P(A)P(B)

Por lo tanto, si P(A∩B) ≠ P(A)P(B), los sucesos son dependientes.

 

2.5.2.  Ejemplos. VéaseAC20121Probabilidad.xls .

 

2.6.         Bilbiografía

2.6.1.  Beltrami, Edward. What is Random? Chance and Order in Mathematics and Life, Springer-Verlag, Copernicus, New York, 1999, pp. 1-34.

2.6.2.  Spiegel, Murray R. Probabilidad y Estadística. Teoría y 760 problemas resueltos. McGraw Hill, México, Serie Schaum, capítulo 1: “Conjuntos y probabilidad”, pp. 1-9.

2.6.3.  ----------------------. Estadística. Teoría y 875 problemas resueltos. . McGraw Hill, México, Serie Schaum, capítulo 6: “Probabilidad”, pp. 99-121.

2.6.4.  Wonnacott, Thomas H.; Wonnacott, Ronald J. Introducción a la estadística, cuarta reimpresión, Editorial Limusa, México, 1990. Capítulo 3: “Probabilidad”, pp. 51-69.

2.7.         Sitios en Internet:

2.7.1.  http://mathworld.wolfram.com/Probability.html

2.7.2.  http://www.fvet.edu.uy/fvestadis/probabilidad.htm

 

Iván Zavala Echavarría, 20 de agosto de 2011